- 「トリボナッチ数列」
階段の問題で「１段ずつ」「１段飛ばし」「２段飛ばし」の３種類が可能なら「トリボナッチ数列」になります。バスケットボールの点数の入り方も同様です。
※前２つを足すのが「フィボナッチ数列」なら、前３つを足すのが「トリボナッチ数列」です。
４つは「テトラナッチ数列」だそうです。 - 「長方形（１×２）と正方形（２×２）の敷き詰め」
例えば２×６の長方形に敷き詰める場合は端で分類し、以下のような表に整理します。
上の表を自分の力で書けるようになればこの手の問題は大抵解けるようになると思います。
大切なのは「前の結果を利用する」ということと「表に整理する」ということの２点です。
VOL.110 【場合の数攻略】 －フィボナッチ数列－
まず、「フィボナッチ数列」とはどんな数列かを確認しておきます。
定義そのものは小学生が理解するのは無理だと思いますが、
結果としては
「最初の２項が０、１（（１、１）あるいは（１、２）も中学受験ではあり）であり、以後どの項もその直前の２項の和となっているような数列」
です。
具体的には
０，１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，３７７，６１０，９８７，１５９７，２５８４，４１８１，６７６５，・・・
となります。
実際は「第何項がいくつか」ということが大切なので、上記のような数列を「表」にまとめます。
直前の２項を足せばその項がいくつかを求められるので、少し練習すればほとんどの人が書けるようになります。
そうなると「第何項がいくつか」ということを悩む必要はほぼなくなりますね。
そして、ここまで来て初めて「場合の数」の分野に入ってきたとも言えます。
単に「第何項がいくつか」という問題ならば、「規則性」の分野と考えられるからです。
「場合の数」の問題で「フィボナッチ数列」を使って解くものは、典型的なものが２つあります。
ひとつは「階段（１段づつか１つ飛ばし）」、
もうひとつは「長方形（１×２）の敷き詰め」です。
６年生はどちらも「基本問題」として学習済みだと思いますが、ピンとこない受験生はすぐに確認することをお勧めします。
ここまで見てきて
「フィボナッチ数列で解く場合の数（前の結果の和を利用して解くものまで範囲を広げます）」
の問題で難しいものは
- 「階段」「長方形の敷き詰め」ではないがフィボナッチ数列（それと見抜くのが難しい）
- 単に直前の二項を足した数列ではないもの
- 最初、１辺が１ｃｍの正方形を２つ並べて長方形をつくり、以降は長方形の長いほうの辺にその辺と一辺の長さが等しい正方形をくっつけ新たな長方形を作るという操作を繰り返したときの、辺の長さ。
※これは「フィボナッチ数列」の性質のひとつである「１番目からＮ番目までの項をそれぞれ二乗（その数同士を２回掛け合わせること）したものの和は、Ｎ番目の項と（Ｎ＋１）番目の項の積に等しい」の証明になっています。 - １つがいのウサギは、産まれて２か月後から毎月１つがいのウサギを産む。ウサギが死なないとしたときの、○○カ月後のつがいの数。
※これがフィボナッチさんが考案したとされる問題です。 - ある整数を「偶数なら２で割り、奇数なら１を加える」という操作をその数が１になるまで繰り返す。□回の操作で１になる整数の数。
- 「トリボナッチ数列」
階段の問題で「１段ずつ」「１段飛ばし」「２段飛ばし」の３種類が可能なら「トリボナッチ数列」になります。バスケットボールの点数の入り方も同様です。
※前２つを足すのが「フィボナッチ数列」なら、前３つを足すのが「トリボナッチ数列」です。
４つは「テトラナッチ数列」だそうです。 - 「長方形（１×２）と正方形（２×２）の敷き詰め」
例えば２×６の長方形に敷き詰める場合は端で分類し、以下のような表に整理します。
上の表を自分の力で書けるようになればこの手の問題は大抵解けるようになると思います。
大切なのは「前の結果を利用する」ということと「表に整理する」ということの２点です。
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フィボナッチ数列について（その３）－フィボナッチ数列はどこで使用され、どんな場面に現れてくるのか（自然界以外）－ | フィボナッチ数列の一般項 ニッセイ基礎研究所
フィボナッチ数列について（その３）－フィボナッチ数列はどこで使用され、どんな場面に現れてくるのか（自然界以外）－
保険研究部 研究理事 中村 亮一
パスカルの三角形との関係
・ｎ個の玉がある。２人が交互に玉を取り合って、最後に玉を取り尽くした方が勝ちとなる。
・最初は、全ての玉を取ることはできないが、任意の個数の玉を取ってもよい。
・各段階で、直前に相手が取った玉の数の２倍まで取ることができる。
(5) 1個の玉がある場合、先手が3個（（21－13）÷3））以上の玉を取る場合には後手は④の状況に持っていくことができ、先手が3個未満の玉しか取らない場合には、例えば21＝8＋13 と考えて、(3)と(4)の手法を用いることができる。
n 段の階段を1段または2段ずつ上る方法
n フィボナッチ数列の一般項 段の階段を1段または2段ずつ上るときに、上る方法の数を Fn+1 通りとすると、Fnはフィボナッチ数列となる。
（k+2）段に上るためには、(1)k段から2段上りする、(2)(k+1)段から1段上りする、の2つの方法があるが、(1)の場合の、k段までの上り方はFｋ＋1 通りあり、(2)の（k+1）段までの上り方はFk＋２ 通りある。
自然数nを１と２の順序付きの和で表す方法の数
ガラス板を2枚重ねにした場合の光の反射の数
株式投資におけるフィボナッチ数列の適用
「エリオット波動」というのは、米国人のラルフ・ネルソン・エリオット（Ralph Nelson Elliott）が提唱した、株式投資についてのテクニカル理論である。これによると、株式相場の大きな流れには、「上昇5波動」と「下降3波動」が存在し、これで１つの相場を形成することになる。具体的には、下図のようなパターンになる。ここで、「3」と「5」と両者の合計としての「8」が全てフィボナッチ数ということになる。
もう１つは、下げ相場に対する戻り幅の測定や上げ相場に対する上値目標値を、フィボナッチ数列や黄金比を用いて計算し、相場の予測値を出すものである。「フィボナッチ・リトレースメント（Fibonacci retracement）」と呼ばれて、チャート上の抵抗ラインと支持ラインの水準を示すテクニカル分析の一手法となっている。
黄金比φ 0.618
φ 2 （＝１－φ） 0.382
φ 3 0.236
１－φ フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項 3 0.764
加えて、フランス人の数学者ブノワ・マンデルブロ（Benoît B. Mandelbrot）が考案した「フラクタル（fractal）」という概念にも関わっていくことになる。「フラクタル」というのは、自己相似性という特殊な性質を有する幾何学的図形のことをいい、図形の全体をいくつかの部分に分解していった時に同じ形が再現されていくことをいう。自然は一見すると無秩序なカオス状態のようにみえるが、よく観察すると同じ構造が繰り返されているような「フラクタル構造」になっている（ものが多く観察される）と言われている。「フラクタル」については、今後の研究員の眼で報告することとしたい。
フィボナッチ数列の一般項
「フィボナッチ数（ふぃぼなっちすう、Fibonacci number）とは、イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチにちなんで名付けられた数である。n 番目のフィボナッチ数を Fn で表わすと
F_o=, F_1=1
F_(n+2)=F_n+F_(n+1) ( n >=1)
で定義される。
この数列はフィボナッチ数列と呼ばれ、最初の数項は
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, フィボナッチ数列の一般項 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …
である。定義より、どの項もその前の2つの項の和となっている。
兎の問題
フィボナッチは次の問題を考案した。
1つがいの兎は、産まれて2ヶ月後から毎月1つがいずつの兎を産む。
1つがいの兎は1年の間に何つがいの兎になるか？
この条件のもとで、つがいの数は次の表のようになる。どの月のつがいの合計も、その前の2つの月での合計の和となり、フィボナッチ数が現れていることがわかる。
産まれたつがい1ヶ月目のつがい2ヶ月目以降のつがい つがいの数（合計）
0ヶ月目 1 0 フィボナッチ数列の一般項 0 1
1ヶ月目 0 1 0 1
2ヶ月目 1 0 1 2
3ヶ月目 1 1 1 3
4ヶ月目 フィボナッチ数列の一般項 フィボナッチ数列の一般項 2 1 2 5
5ヶ月目 3 2 3 8
6ヶ月目 5 3 5 13
7ヶ月目 8 5 フィボナッチ数列の一般項 8 21
8ヶ月目 13 8 13 34
9ヶ月目 21 フィボナッチ数列の一般項 13 21 55
10ヶ月目 34 21 34 89
11ヶ月目 55 34 55 144
12ヶ月目 89 55 89 233
一般項
フィボナッチ数列の一般項は次の式で表される:フィボナッチ数列の一般項
F_n=(1/√5)*(((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n)=(φ^n-(-φ)^n)/√5
ただし、
φ=(1+√5)/2 ・・・1.618033988749895・・・
は黄金比。
・・・
性質
隣り合うフィボナッチ数の比は黄金比 φ に収束する。
lim (n→∞) F_n/F_(n-1) →φ
導出:
x=lim (n→∞) F_n/F_(n-1) とおけば、
x=lim (n→∞) (F_(n-1)+F_(n-2))/F_(フィボナッチ数列の一般項 n-1)=lim (n→∞) (1+1/(F_(n-1)/F_(n-2))=1+1/x
x^2-x-1=0
p と q の最大公約数が r であるならば Fp と Fq の最大公約数は Fr である。
このことより以下を導くことができる。
m が n で割り切れるならば、Fm は Fn で割り切れる。
連続する2数は互いに素であることより、隣り合うフィボナッチ数も互いに素である。
Fm が偶数となるのは m が 3 の倍数となるときと一致する。
Fm が 5 の倍数となるのは m が 5 の倍数となるときと一致する。
p が 2 でも 5 でもない素数のとき、m = p - (5/p) とおくと p は Fm を割り切る。ここで (/) はルジャンドル記号である。
フィボナッチ数の累和や累積について以下の式が成り立つ:
F_1+F_2+F_3+・・・+F_n=F_(n+2)-1
F_1+F_3+F_5+・・・+F_(フィボナッチ数列の一般項 2n-1)=F_2n
F_2+F_4+F_6+・・・+F_2n=F_(2n+1)-1
F_1^2+F_2^2+F_3^2+・・・+F_n^2=F_n*F_(n+1)
F_(n-1)フィボナッチ数列の一般項 *F_(n+1)-F_n^2=(-1)^n
次の関係式が知られている。
1/89=Σ(1～n～∞) F_n X 10^-(n+1)
フィボナッチ数のうち平方数であるものは F1 = F2 = フィボナッチ数列の一般項 1, F12 = 144 のみ (Cohn 1964)、立方数であるものは F1 = F2 = 1, F6 = 8 のみ (London and Finkelstein 1969) である。フィボナッチ数のうち累乗数であるものはこれしかない (Bugeaud, Mignotte, Siksek 2006)。
・・・
最初の50項
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, フィボナッチ数列の一般項 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, フィボナッチ数列の一般項 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049（オンライン整数列大辞典の数列 A45）
類似の数列
トリボナッチ数
トリボナッチ数とは、次のように定義されるトリボナッチ数列に現れる数のことである。
T_0=T_1=0,T_2=1
T_(n+3)=T_n+T_(n+1)+T_(n+2)
フィボナッチ数列が「前の2項の和」なのに対し、トリボナッチ数列は「前の3項の和」である。
最初のいくつかの項は、次のようになる。
0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (A73)
・・・
テトラナッチ数
テトラナッチ数は、トリボナッチ数列と同様に次のように定義される、テトラナッチ数列に現れる数のことである。
T_0=T_1=T_2=0, T_3=1
T_(n+4)=T_n+T_(n+1)+T_(n+2)+T_(n+3) (n >=1)
フィボナッチ数列が「前の2項の和」、トリボナッチ数列が「前の3項の和」なのに対し、テトラナッチ数列は「前の4項の和」である。
最初のいくつかの項は、次のようになる。
0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, …
リュカ数
フィボナッチ数列の最初の2項を フィボナッチ数列の一般項 2, 1 に置き換えた数列の項をリュカ数という。この数列の一般項は
L_n =((1+√5)/2)^n + ((1-√5)/2)^n = φ^n + (-φ)^(-n)
と表される。
フィボナッチ数列やリュカ数の列を一般化したものがリュカ数列であり、1878年にエドゥアール・リュカが体系的な研究を行い、1913年にロバート・ダニエル・カーマイケル (en) がその結果を整理、拡張した。これらの研究が現代のフィボナッチ数の理論の基礎となった。」
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